定積分、絶対値の解き方

数学
定積分がある程度できれば大丈夫。

絶対値を外して考える

$f(x)=\sqrt{|x-2|}\,$のような絶対値の関数を考えた場合、

$x\,$の範囲によって、

$\quad f(x)=\left\{\array{\sqrt{x-2}\quad &(x\geqq 2)\\ \sqrt{-x+2} &(x\leqq 2)}\right.$

関数の形が変わります。

つまり、

定積分である$\,\displaystyle \int_{a}^{b}\sqrt{|x-2|}dx\,$のような問題を求めるときには、範囲によって関数の形が変わるので、積分区間を分けて解かなければいけません。

$\,\displaystyle \int_{0}^{4}\sqrt{|x-2|}dx\,$を解く場合は、

$$\displaystyle \int_{0}^{4}\sqrt{|x-2|}\,dx=\displaystyle \int_{0}^{2}\sqrt{-x+2}\,dx+\displaystyle \int_{2}^{4}\sqrt{x-2}\,dx$$

と分けて解きます。

$$\displaystyle \int_{a}^{b}=\displaystyle \int_{a}^{\textcolor{red}{c}}+\displaystyle \int_{\textcolor{red}{c}}^{b}$$

例題

次の定積分を求めよ。
$$\displaystyle \int_{0}^{4}\sqrt{|x-2|}dx$$

さっきまで例で挙げていた式ですが、答えまで求めようと思います。

絶対値を外すときに、積分区間に注意しながら分けます。

$$\begin{align}
\displaystyle \int_{0}^{4}\sqrt{|x-2|}\,dx
&=\displaystyle \int_{0}^{2}\sqrt{-x+2}\,dx+\displaystyle \int_{2}^{4}\sqrt{x-2}\,dx\\
&=\left[-\frac{2}{3}(-x+2)^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{2}+\left[\frac{2}{3}(x-2)^{\frac{3}{2}}\right]_{2}^{4}\\
&=-\left(-\frac{2}{3}\cdot 2^{\frac{3}{2}}\right)+\frac{2}{3}\cdot 2^{\frac{3}{2}}\\
&=\frac{8}{3}\sqrt{2}
\end{align}$$

$$\frac{8}{3}\sqrt{2}$$

例題2

次の定積分を求めよ。
$$\displaystyle \int_{0}^{π}|sin\,4x|dx$$

今回の問題は積分区間を4つに分けて考える必要があります。

$f(x)=|sin\,4x|\,$とすると、

$$f(x)=\left\{\array{
sin\,4x\quad &(0\leqq x\leqq \frac{π}{4})\\
-sin\,4x &(\frac{π}{4}\leqq x\leqq \frac{π}{2})\\
sin\,4x &(\frac{π}{2}\leqq x\leqq \frac{3π}{4})\\
-sin\,4x &(\frac{3π}{4}\leqq x\leqq π)
}\right.$$

となるので、

$$\begin{align}
&\displaystyle \int_{0}^{π}|sin\,4x|dx\\
&=\displaystyle \int_{0}^{\frac{π}{4}}sin\,4x\,dx+\displaystyle \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}-sin\,4x\,dx+\displaystyle \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3π}{4}}sin\,4x\,dx+\displaystyle \int_{\frac{3π}{4}}^{π}-sin\,4x\,dx\\
&=\left[-\frac{1}{4}cos\,4x\right]_{0}^{\frac{π}{4}}+\left[\frac{1}{4}cos\,4x\right]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}+\left[-\frac{1}{4}cos\,4x\right]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3π}{4}}+\left[\frac{1}{4}cos\,4x\right]_{\frac{3π}{4}}^{π}\\
&=-\frac{1}{4}\cdot (-2)+\frac{1}{4}\cdot 2-\frac{1}{4}\cdot (-2)+\frac{1}{4}\cdot 2\\
&=2
\end{align}$$

$$2$$

練習問題

次の定積分を求めよ。
$$\displaystyle \int_{-2}^{3}|x^2-4|dx$$
$$\begin{align} x^2-4&>0\\ (x+2)(x-2)&>0 \end{align}$$ よって、$x<-2\,,\,2
つまり、
$f(x)=|x^2-4|\quad(-2\leqq x\leqq 3)\,$とすると、
$$f(x)=\left\{\array{ -x^2+4\quad &(-2\leqq x\leqq 2)\\ x^2-4 &(2\leqq x\leqq 3)\\ }\right.$$
したがって、

$$\begin{align} &\displaystyle \int_{0}^{π}|x^2-4|dx\\ &=\displaystyle \int_{-2}^{2}(-x^2+4)dx+\displaystyle \int_{2}^{3}(x^2-4)dx\\ &=\left[-\frac{1}{3}x^3+4x\right]_{-2}^{2}+\left[\frac{1}{3}x^3-4x\right]_{2}^{3}\\ &=-\frac{8}{3}+8-\left(\frac{8}{3}-8\right)+9-12-\left(\frac{8}{3}-8\right)\\ &=13 \end{align}$$
$$13$$
   

まとめ

積分区間をしっかりと考えて解きましょう。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

ロゴ

コメント

タイトルとURLをコピーしました