曲線の長さは積分!?実は公式はムリに覚える必要はない

曲線の長さの求め方のサムネ数学
この記事のまとめ

曲線の長さの求め方を3部構成で説明しています。

公式の紹介、問題を解く、公式の覚え方

この3つです。

今回の公式は、覚えなくても簡単に導くことができます。

媒介変数表示極座標表示のときについても説明しています。

暗記嫌い暗記嫌い暗記嫌い…私の心の中はこんな感じ。

数学なんか何にも覚えたくない。

そんな私にも今回の内容は覚えなくて済むので勉強するうえでは好きな方です。

問題を解いてて楽しいかと言われると楽しくはありませんけどね。。。(一緒にがんばりまsy)

曲線の長さの公式

曲線の長さの簡略図

曲線関数の表し方によって、公式が多少変わります。

ここで紹介する表し方は3つです。

曲線の範囲が$\,a\leqq x\leqq b\,$のときの曲線の長さ($L$)を求める公式

①$\,y=f(x)\,$で表される1番一般的な関数の場合

$$\textcolor{#00984f}{\displaystyle \int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\, \,dx}$$

②媒介変数表示で表された関数の場合

$$\textcolor{#00984f}{\displaystyle \int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\, \,dt}$$

③極座標表示された関数の場合

$$\textcolor{#00984f}{\displaystyle \int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dr}{dθ}\right)^2+r^2}\, \,dθ}$$

それぞれの公式が、なぜそうなるのかは”公式をイメージで覚える”を見てください。

次は、さっそくそれぞれの公式を使って例題を1問ずつ解いてみようと思います。

例題で求め方を覚えよう!

①$\,y=f(x)\,$で表される1番一般的な関数の場合の例題

関数$\,y=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}\,$における$\,0\leqq x\leqq 3\,$の範囲の曲線の長さを求めよ。

公式に代入するために$\,\frac{dy}{dx}\,$を求めます。(ただ、xで微分するだけ)

$$\begin{align}
y&=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}\\
y&=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\\
\frac{dy}{dx}&=\sqrt{x}
\end{align}$$

よって、求める曲線の長さは、

$$\begin{align}
&\quad\displaystyle \int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\, \,dx\\
&=\displaystyle \int_{0}^{3}\sqrt{1+x}\,\, dx\\
&=\left[\frac{2}{3}\left(1+x\right)^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{3}\\
&=\frac{14}{3}
\end{align}$$

$$\frac{14}{3}$$

例題の図的関係

大体の解き方は理解できましたか?

といっても代入しただけではありますが…

あと2つについては見たい方のみ”クリック”を押してください。
(説明部分が下にでてきます。)


②媒介変数表示で表された関数の場合の例題

$r\,$は正の定数とする。$x=r(cos\,θ+θ\,sin\,θ),\,\,$ $y=r(sin\,θ-θ\,cos\,θ)\,$が表す曲線の$\,0\leqq θ\leqq π\,$の部分の長さを求めよ。

$r,\,θ\,$があって紛らわしいですが、媒介変数表示です。(極座標教示は$\,r=f(θ)\,$のこと。)

公式に代入するために$\,\frac{dx}{dθ},\,\frac{dy}{dθ}\,$を求めます。

$$\begin{align}
\frac{dx}{dθ}&=r(-sin\,θ+sin\,θ+θ\,cos\,θ)\\
&=rθ\,cos\,θ
\end{align}$$

$$\begin{align}
\frac{dy}{dθ}&=r(cos\,θ-cos\,θ+θ\,sin\,θ)\\
&=rθ\,sin\,θ
\end{align}$$

よって、求める曲線の長さは、

$$\begin{align}
&\quad\displaystyle \int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dθ}\right)^2+\left(\frac{dy}{dθ}\right)^2}\, \,dθ\\
&=\displaystyle \int_{0}^{π}\sqrt{(rθ\,cos\,θ)^2+(rθ\,sin\,θ)^2}\, \,dθ\\
&=\displaystyle \int_{0}^{π}rθ\,\, dθ\\
&=\left[\frac{1}{2}rθ^2\right]_{0}^{π}\\
&=\frac{1}{2}π^2r
\end{align}$$

$$\frac{1}{2}π^2r$$

③極座標表示された関数の場合の例題

$a\,$は正の定数とする。$r=a\,sin\,θ\,$が表す曲線の$\,0\leqq θ\leqq 2π\,$の部分の長さを求めよ。

公式に代入するために$\,\frac{dr}{dθ}\,$を求めます。

$$\frac{dr}{dθ}=a\,cos\,θ$$

よって、求める曲線の長さは、

$$\begin{align}
&\quad\displaystyle \int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dr}{dθ}\right)^2+r^2}\,\, dθ\\
&=\displaystyle \int_{0}^{2π}\sqrt{a^2cos^2θ+a^2sin^2θ}\, \,dθ\\
&=\displaystyle \int_{0}^{2π}a\cdot dθ\\
&=\left[aθ\right]_{0}^{2π}\\
&=2πa
\end{align}$$

$$2πa$$

公式を簡単にイメージで覚える

①$\,y=f(x)\,$で表される1番一般的な関数の場合の証明

xy平面上での三平方の定理

中学校で勉強した三平方の定理を使うことで、2点の直線の距離は求めることができます。

その三平方の定理の考え方を使うことで、曲線の長さを求める公式を簡単にイメージすることができます


曲線の長さを求めるイメージ図

曲線だとそのままでは、定理を使うことができませんが、

曲線も短い部分だけ見たらほぼ直線になっています。

そこで、短い長さに分割してそれぞれの長さを三平方の定理を使い計算、

最終的にすべてを足し合わせ、答えに限りなく近いものを求めることを考えます。


限りなく短くした部分の縦と横の長さは、縦が$\,dy\,$、横が$\,dx\,$と表せるので、

三平方の定理を使うと、

$$ℓ=\sqrt{dx^2+dy^2}$$

となります。

これに範囲を設定して、足し合わせることを意味する$\,\displaystyle \int_{a}^{b}\,$を付けます。

$$L=\displaystyle \int_{a}^{b}\sqrt{dx^2+dy^2}\quad\cdots\cdots※$$

(この枠内の内容が理解できれば、あとは式をいじくるだけなので簡単です。)

上の式のままだと、$\displaystyle \int_{a}^{b}\,d〇\,$となっていないので積分できません。

したがって、ルートの中の$\,dx\,$を外に出します。

$$L=\textcolor{#00984f}{\displaystyle \int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,\,dx}$$

これが、公式になります。


実際には、正式な証明ではありませんが、積分の式を立てるために使うのは大丈夫です。

試験の時なんかでは、どうやって立式したか書かなければいいだけです。

面積や体積を求めるときにもよく使われます。

【意外と知らない】なぜ定積分で面積を求めることができるのか


あと2つの公式は、式の変換で考えることができます。

②媒介変数表示で表された関数の場合の証明

※に$\,dt\,$を付け加えます。

$$\begin{align}
L&=\displaystyle \int_{a}^{b}\sqrt{dx^2+dy^2}\\
&=\textcolor{#00984f}{\displaystyle \int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,\, dt}
\end{align}$$

たった、これだけです。


③極座標表示された関数の場合の証明

極座標を考える場合、$x=r\,cos\,θ,\,y=r\,sin\,θ\,$と考えることができます。

ここから※に代入するために$\,dx,\,dy\,$を求めます。

それぞれを$θ$で微分します。

$$\begin{align}
x&=r\,cos\,θ\\
\frac{dx}{dθ}&=\frac{dr}{dθ}cos\,θ-r\,sin\,θ\\
dx&=\textcolor{red}{dr\cdot cos\,θ-r\,sin\,θ\cdot dθ}
\end{align}$$

$$\begin{align}
y&=r\,sin\,θ\\
\frac{dy}{dθ}&=\frac{dr}{dθ}sin\,θ+r\,cos\,θ\\
dy&=\textcolor{red}{dr\cdot sin\,θ+r\,cos\,θ\cdot dθ}
\end{align}$$

極座標で表される関数というのは、$r=f(θ)\,$のような関数のことなので、

$r\,$を$θ$で微分したら、$f'(θ)=\frac{df(θ)}{dθ}=\large{\frac{dr}{dθ}}\,$となります。

※に代入します。

$$\begin{align}
L&=\displaystyle \int_{a}^{b}\sqrt{dx^2+dy^2}\\
&=\displaystyle \int_{a}^{b}\sqrt{(\textcolor{red}{dr\cdot cos\,θ-r\,sin\,θ\cdot dθ})^2+(\textcolor{red}{dr\cdot sin\,θ+r\,cos\,θ\cdot dθ})^2}\\
&=\displaystyle \int_{a}^{b}\sqrt{dr^2+r^2\cdot dθ^2}\\
&=\textcolor{#00984f}{\displaystyle \int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dr}{dθ}\right)^2+r^2}\, \,dθ}\\
\end{align}$$

以上です。

アドバイス

曲線の長さを求める公式は、

関数の表され方により3つ紹介しましたが、

無理に暗記する必要はありません。

(まず、私は暗記していません。)


逆に覚えておくと便利なことは、

$$\textcolor{red}{L=\displaystyle \int_{a}^{b}\sqrt{dx^2+dy^2}}$$

この式です。作り出す過程まで知っておくとベストです。

この式を変形していくだけで、曲線の長さを求める公式にすることができます。


最後まで読んでいただきありがとうございました。

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