偶関数と奇関数の定積分

数学
定積分の基礎

偶関数・奇関数の定積分

$f(x)\,$が偶関数のとき,

$\quad \displaystyle \int_{-a}^{a}\,f(x)dx=2\displaystyle \int_{0}^{a}\,f(x)dx$

$f(x)\,$が奇関数のとき,

$\quad \displaystyle \int_{-a}^{a}\,f(x)dx=0$

が成り立ちます。

偶関数:$f(x)=x^2+1$

$\quad\displaystyle \int_{-a}^{a}\,(x^2+1)dx=2\displaystyle \int_{0}^{a}\,(x^2+1)dx$

奇関数:$f(x)=x^3$

$\quad\displaystyle \int_{-a}^{a}\,x^3dx=0$


ここからは偶関数と奇関数それぞれに対してもう少し詳しく説明します。

偶関数について

偶関数とは

$f(x)=f(-x)\,$を満たす関数$\,f(x)\,$のこと。

つまり、y軸に関して対称になる関数のことを指します。

したがって、

定積分はグラフの面積を表しているので、

$-a\,$~$\,a\,$までの範囲で定積分を求める場合、$0\,$~$\,a\,$の範囲の面積を2倍すれば、求めたい面積(定積分)を求められると分かります。

偶関数かどうかの見分け方

もう一度になりますが、偶関数とは、

$f(x)=f(-x)\,$を満たす関数$\,f(x)\,$のことです。

よって、

偶関数かどうか知りたい場合は、$f(x)\,$の関数に$\,x\,$と$\,-x\,$をそれぞれ代入すれば分かります。

$y=x^2-3\,$が偶関数であることを確認する。

$f(x)=x^2-3\,$として、$\,x\,$と$\,-x\,$をそれぞれ代入。

$$f(x)=\textcolor{red}{x^2-3}$$

$$\begin{align}
f(-x)&=(-x)^2-3\\
&=\textcolor{red}{x^2-3}
\end{align}$$

したがって、$f(x)=f(-x)\,$となりました。よって、$y=x^2-3\,$は偶関数です。

偶関数:一覧

有名なものでこれぐらい覚えておけば大丈夫でしょうという量になっています。(一覧という量じゃない(謝))

$\quad y=2$
$\quad y=x^{\textcolor{bule}{2}}$
$\quad y=x^{\textcolor{bule}{4}}$

つまり、
$\quad y=x^{\textcolor{bule}{n}}\quad $(nは偶数)

三角関数では、
$\quad y=cos\,x$

また、偶関数と偶関数の和は偶関数になります。
$\quad y=x^4+x^2+cos\,x\,-3$

奇関数について

奇関数とは

$-f(x)=f(-x)\,$を満たす関数$\,f(x)\,$のこと。

つまり、原点に関して対称になる関数のことを指します。

したがって、

定積分はグラフの面積を表しているので、

$-a\,$~$\,a\,$までの範囲で定積分を求める場合、$0\,$~$\,a\,$の範囲と$-a\,$~$\,0\,$の範囲では面積は同じですが上下は逆になっています。よって、定積分では打ち消し合って0になります。

奇関数かどうかの見分け方

もう一度になりますが、奇関数とは、

$-f(x)=f(-x)\,$を満たす関数$\,f(x)\,$のことです。

よって、

奇関数かどうか知りたい場合は、$f(x)\,$の関数に$\,x\,$と$\,-x\,$をそれぞれ代入すれば分かります。

$y=x^3\,$が奇関数であることを確認する。

$f(x)=x^3\,$として、$\,x\,$と$\,-x\,$をそれぞれ代入。

$$f(x)=\textcolor{red}{x^3}$$

$$\begin{align}
f(-x)&=(-x)^3\\
&=\textcolor{red}{-x^3}
\end{align}$$

したがって、$-f(x)=f(-x)\,$となりました。よって、$y=x^3\,$は奇関数です。

奇関数:一覧

有名なものでこれぐらい覚えておけば大丈夫でしょうという量になっています。(一覧という量じゃない(謝))

$\quad y=x$
$\quad y=x^{\textcolor{bule}{3}}$

つまり、
$\quad y=x^{\textcolor{bule}{n}}\quad $(nは奇数)

三角関数では、
$\quad y=sin\,x$

また、奇関数と奇関数の和は奇関数になります。
$\quad y=x^3+sin\,x$

定積分の解き方

例題

次の定積分を求めよ。
$$\displaystyle \int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\,cos\,x\,+sin\,x\,dx$$

$cos\,x\,$は偶関数、$sin\,x\,$は奇関数

よって、

$$\begin{align}
\displaystyle \int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\,cos\,x\,+sin\,x\,dx
&=2\displaystyle \int_{0}^{\frac{π}{2}}\,cos\,x\,dx\\
&=2\left[sin\,x\right]_{0}^{\frac{π}{2}}\\
&=2\left(1-0\right)\\
&=2
\end{align}$$

$$2$$

$\begin{align} \displaystyle \int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\,cos\,x\,+sin\,x\,dx &=\displaystyle \int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\,cos\,x\,dx+\displaystyle \int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\,sin\,x\,dx\\ &=2\displaystyle \int_{0}^{\frac{π}{2}}\,cos\,x\,dx+0 \end{align}$

練習問題

次の定積分を求めよ。
$$\displaystyle \int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\,x^3cos\,x\,dx$$
$f(x)=x^3cos\,x\,$として、偶関数か奇関数か考えます。

$$\begin{align} f(-x)&=(-x)^3cos(-x)\\ &=-x^3cos\,x \end{align}$$
$$cos(-x)=cos\,x$$
よって、
$f(x)=x^3cos\,x\,$と$f(-x)=-x^3cos\,x\,$より、$-f(x)=f(-x)\,$。したがって、$f(x)\,$は奇関数になります。

$$\displaystyle \int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\,x^3cos\,x\,dx=0$$
$$0$$
   
次の定積分を求めよ。
$$\displaystyle \int_{-3}^{3}\,(x^3+x^2+x)\,dx$$
$x^3\,$は奇関数。$x^2\,$は偶関数。$x\,$は奇関数。

$$\begin{align} \displaystyle \int_{-3}^{3}\,(x^3+x^2+x)\,dx&=2\displaystyle \int_{0}^{3}\,x^2\,dx\\ &=2\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{3}\\ &=18 \end{align}$$
$$18$$
   

まとめ

偶関数・奇関数の定積分の求め方は実際知らなくても解けますが、知っていると簡単に解くことができます。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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