複素数の絶対値に欠かせない1つの公式

複素数の絶対値のサムネ大学数学

この記事では、複素数の絶対値が絡む問題の解き方を解説します。

複素数の絶対値において重要なことは1点だけで、

複素数の絶対値の2乗の公式を理解できていれば、多くの問題は解けるようになります。

複素数の絶対値の2乗

試験問題で使用する場合、複素数の絶対値ではなく、「複素数の絶対値の2乗」として利用することが多いです。

なので、そのよく使う複素数の絶対値の2乗の公式から紹介します。

複素数の絶対値の2乗の公式は以下の通りです。

複素数の絶対値の2乗

$$\LARGE{\left|z\right|^{2}=z\overline{z}}$$

複素数の絶対値の2乗は$\large{z\cdot\overline{z}}$になります。

ここで、$\large{z}$はただの複素数のことであり、$\large{\overline{z}}$は共役な複素数のことを示します。

共役な複素数とは、ただの複素数の虚部($i$がついた部分)を(-1)倍したものです。

つまり、$\large{z}$の虚部を(-1)倍すると、$\large{\overline{z}}$になります。

例:
$\large{z}$ $=1+2i$ に対して $\large{\overline{z}}$ $=1-2i$
$\large{z}$ $=\sqrt{2}-i$ に対して $\large{\overline{z}}$ $=\sqrt{2}+i$

なぜ$\large{z\cdot\overline{z}}$が複素数の絶対値の2乗になるのかですが、

これは複素数平面で考えると分かります。

z=a+biの複素数平面上の表示

図の複素数$z$の絶対値$\left|z\right|$は点までの距離にあたるので、

三平方の定理より、$\left|z\right|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ となり、

これの2乗は $\large{\left|z\right|^{2}=\color{red}{a^{2}+b^{2}}}$ になります。

そして、$\large{z}$ $=a+bi$なら、$\large{\overline{z}}$ $=a-bi$になるので、

$$\begin{align}
\large{z\cdot\overline{z}}&\normalsize{=(a+bi)(a-bi)}\\
&\normalsize{=a^{2}-(bi)^{2}}\\
&\normalsize{=\color{red}{a^{2}+b^{2}}}
\end{align}$$

つまり、三平方の定理を使って求めた$a^{2}+b^{2}$と同じになったので$\large{z\cdot\overline{z}=\left|z\right|^{2}}$となります

もちろん $\large{\sqrt{z\cdot\overline{z}}}=\left|z\right|$ となりますが、複素数においてルートが入ると使いにくくなるので、2乗の形でよく使われます。

例題:複素数の絶対値を使う問題

問題

複素数$\large{z}$が $\large{\left|z\right|^{2}}$ $=2$ を満たすとき、

$\large{z}$ $+$ $\large{\overline{z}}$ $+1=0$ となる$\large{z}$の値を求めよ。

$\left|z\right|=2$より、$\left|z\right|^{2}=z\overline{z}=4$

また、$z\neq 0$ だから、$\overline{z}=\large{\frac{4}{z}}$

$z+\overline{z}+1=0$ に代入すると、$z+\large{\frac{4}{z}}\normalsize{+1=0}$ より、

$z^{2}+z+4=0$

これを解いて、

$\begin{align}z&=\frac{-1\pm\sqrt{1^{2}-4\cdot 1\cdot 4}}{2}\\
&=\frac{-1\pm\sqrt{15}\,i}{2}\end{align}$

解答

$$z=\frac{-1\pm\sqrt{15}\,i}{2}$$

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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