【基本】微分積分とは?なるべく短めに説明しました

微分積分とはのサムネ数学
この記事のまとめ

微分とは何で積分とは何かという1番の基本を説明します。

微分積分を習うのは、高校生2年生の数Ⅱです。

できるだけ短く、わかりやすく、まとめられていると思います。

微分積分って結構耳にするけど、いざやってみると最初は結構苦戦するんですよね

ネットで調べても、長ったらしく書いてあって読む気が起きにくいし。

まあ、説明するのも難しいんで、しょうがないんですけどね。


なので私は、これ以上説明を短くしたら理解できないというギリギリまで短くしたつもりです。

微分とは?積分とは?

微分

グラフにおける接線の傾き
を求める計算をすること。

グラフの接線
積分

微分の計算と真逆の計算
を機械的に行うこと。

微分と積分の関係


円のグラフの接線と言われれば、誰もが、

円と接線

を思い浮かべますよね。

それと同じように、例えば、中3で習う$\,y=x^2\,$にも接線を書くことができます。

2次関数と接線

「じゃあ、さっそく$\,y=x^2\,$の接線の傾きを求めましょう」と言っても、接点の位置によって傾きなんて変わるからできないだろと考えるでしょう。

2次関数と複数の接線

なら、どこを接点としても、傾きを求められる万能な式なんてないんでしょうか?

実はあります。それが導関数という計算方法です。

そして、導関数という計算方法のことを総称して、微分といいます

微分をもう少し深掘り

微分=導関数と思ってくれていいです。

導関数の計算方法について詳しく説明します。

ただその前に確認です。中2で習う直線の傾きの求め方は覚えているでしょうか?

2点を結ぶ直線

 傾きの求め方は、

$$\begin{align}
\frac{yの増加量}{xの増加量}&=\frac{3-1}{3-(-1)}\\
&=\frac{1}{2}
\end{align}$$

このように求められます。

導関数という計算方法は、これを使います。


関数$\,y=f(x)\,$があったとき、その関数上に2点を用意し、傾きを求めます。

2点の$x$座標は、どこでもいい$\,x\,$とその$\,x\,$から$\,+h\,$だけ離れた位置にします。

グラフに載る2点を結ぶ直線

 2点の傾きは、

$$\begin{align}
傾き&=\frac{yの増加量}{xの増加量}\\
&=\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}
\end{align}$$

ただ、上の図では接線とは言えませんよね。

最初にも言いましたが、微分とは接線の傾きのことです。では、どうするのか?

$x+h\,$を$\,x\,$に限りなく近づけます。

というかほぼ$\,x\,$に重なった状態、「いやもう重なってんちゃうか?」ってぐらい近づけます。

つまり、$\textcolor{red}{\displaystyle\lim_{h→0}}\,$とします。(hを0に近づける)

導関数の説明

よって、2点の傾きは、

$$傾き=\textcolor{red}{\displaystyle\lim_{h→0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}}$$

この上の式が導関数という計算になります。


1つ例題です。

関数$\,y=x^2\,$を微分すると、

$$\begin{align}
&\quad\displaystyle\lim_{h→0}\frac{(x+h)^2-x^2}{(x+h)-x}\\
&=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}\\
&=\displaystyle\lim_{h→0}(2x+h)\\
&=2x
\end{align}$$

となります。

2次関数と接線(例題)

このとき、例えば、点$(1,\, 1)\,$の接線を考えた場合、

$$2x=2\cdot 1=\textcolor{red}{2}$$

となります。これは上の右の図で見た場合と同じ傾きになっています。


最後に…

微分には覚えるべき公式が多く存在します。

$x^2\,$を微分したら$\,2x\,$になるというのも公式の1つです。

毎回毎回、導関数で計算するのはめんどくさいからです。

慣れてきたら導関数での計算はしなくなり、暗記している公式を使って問題を解くようになります。


積分をもう少し深掘り

最初に言った通り、積分とは微分の真逆の計算を機械的に行うことを指します。

そのため、積分の証明というものはありませんし、具体的な解き方もありません

あるのは微分したらこうなるよね。だから逆算して、積分はこうなるよ。っていう計算方法だけです。


小学生の1次方程式に似ています。
小学生では移項を習わないので、
$$3+□=5$$ を解くには、$□$に何が入れば$5$になるのかなと考え、$2$を入れます。


1つ例題です。

次の積分を解いてください。
$$\displaystyle \int_{}^{}2x\,dx$$

まず説明しないといけないのが、問題にあるよくわからない記号です。

$\displaystyle \int_{}^{}$と$\,dx$を合わせて、「積分してください」って意味になり、その2つに挟まれた$\,2x\,$を積分します。

つまり、微分したら$\,2x\,$になるものを求めます


前章の最後で、1つ例題を出しましたが、

$y=x^2\,$を微分したら、$2x\,$になります。

よって、

$$\displaystyle \int_{}^{}2x\,dx=\underline{x^2+C}_{//}$$

($\,C\,$は積分定数とする。)

最後に、積分定数とは何か説明します。

上の問題では、実際、微分して$\,2x\,$となるのは、$x^2\,$だけではないんです

$x^2+4\,$や$\,x^2-\frac{1}{3}\,$など、$\,x^2+n\,$も導関数の計算を使って微分を求めれば$\,2x\,$になります。


さっきは説明をはぶきましたが、$dx\,$とは$\,x\,$について積分することを表します。
($\,dz\,$なら$\,z\,$を積分する。)

つまり、$x\,$以外は積分に関係なくなるので、例えば、$x^2+a+b+c\,$なんかも微分したら$\,2x\,$になります

それらを全て含める答えにするために、$C\,$を付けるわけです。


ここまでで微分と積分の説明は以上です。


微分はいつ使うのか

  • 接線の傾きを求めるとき
  • グラフの形を考えるとき
  • 物理学
$\cdots$など


①接線の傾きを求めるのは説明した通りです。


グラフの形を考えるときというのは、例えば、$y=x^3-x\,$が下のような形になることを求めるということです。

y=x^3-x

微分の内容ではありますが、微分の中でも応用的内容に含まれます。

関数、グラフの書き方、増減表の作り方


最後に物理学についてですが、

正直、ほぼ間違いなく微分とは物理学のために生み出されたものです。

軽く説明するなら、微分によって物体の運動の未来を見ることができるようになるんです。

積分はいつ使うのか

  • 面積や体積を求める
  • 物理学
$\cdots$など


①実は面積や体積を求められます。

下のような$\,y=-x^2+3\,$と$\,y=0\,$で囲まれた部分も積分ができるようになれば求められます。

積分と面積

【意外と知らない】なぜ定積分で面積を求めることができるのか


物理学に関しては微分のときと同じで、ここで説明するのは難しすぎてしません。

でも、やはり、物体の運動を考えたり予測したりするのに使います。

まとめ

微分

グラフにおける接線の傾き
を求める計算をすること。

積分

微分の計算と真逆の計算
を機械的に行うこと。

それと、微分はどうせ公式使って解くんで、導関数の式は忘れても大丈夫です。

微分の説明をするうえで必要だっただけです。


最後まで読んでいただきありがとうございました。

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