ベルヌーイ微分方程式の解き方(例題あり)

数学
積分定数の使い方:$e^C=C\,$となる。

線形微分方程式を知っておくと早く理解できると思います。

【詳しく】一階線形微分方程式の解き方、非同次線形方程式の解き方
積分定数の使い方:$e^C=C\,$となる。1階線形方程式とはxのみで表されるP(x)とQ(x)を係数とする一階微分方程式を、$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$を一階線形微...

ベルヌーイ微分方程式とは

xのみで表されるP(x)とQ(x)を係数とする一階微分方程式を、

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$$

をベルヌーイ微分方程式といいます。線形微分方程式に形が似ています。

一般解の解き方は、「ベルヌーイ微分方程式」を「線形微分方程式」に変えて、線形微分方程式として求めます。

ベルヌーイから線形微分にする

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$$

$y^n\,$で割ります。

$$\frac{1}{y^{n}}\frac{dy}{dx}+P(x)\frac{1}{y^{n-1}}=Q(x)$$

$$y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)$$

$$z=y^{1-n}$$ として、xで微分する。
$$\begin{align} \frac{dz}{dx}&=(1-n)y^{-n}\cdot \frac{dy}{dx}\\\\ \frac{1}{1-n}\frac{dz}{dx}&=y^{-n}\cdot \frac{dy}{dx} \end{align}$$ 右辺が、ベルヌーイを$\,y^n\,$で割った後の第1項と同じになっています。

$$y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)$$

この式に代入します。

$$\begin{align}
\frac{1}{1-n}\frac{dz}{dx}+P(x)z&=Q(x)\\\\
\frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z&=(1-n)Q(x)
\end{align}$$

$\scriptsize{(1-n)P(x)=P'(x)\quad,\quad (1-n)Q(x)=Q'(x)}\,$とすると、

$$\frac{dz}{dx}+P'(x)z=Q'(x)$$

となります。これで、線形微分方程式と同じ形にすることができたので、あとは線形微分方程式の解き方で解くだけです。

【詳しく】一階線形微分方程式の解き方、非同次線形方程式の解き方
積分定数の使い方:$e^C=C\,$となる。1階線形方程式とはxのみで表されるP(x)とQ(x)を係数とする一階微分方程式を、$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$を一階線形微...

あとは、これを見ていただくか、具体例や練習問題では、説明はほとんどありませんが、線形微分方程式の部分も解いてますので、そちらで確認お願いします。

【具体例】ベルヌーイ微分方程式の一般解

(例1)次の式の一般解を求めよ。
$$\frac{dy}{dx}-\frac{1}{4}y=y^5$$

ベルヌーイから、線形微分方程式にします。

$$\begin{align}
\frac{dy}{dx}-\frac{1}{4}y&=y^5\\\\
y^{-5}\frac{dy}{dx}-\frac{1}{4}y^{-4}&=1
\end{align}$$

$$z=y^{-4}$$ として、xで微分する。
$$\begin{align} \frac{dz}{dx}&=-4y^{-5}\cdot \frac{dy}{dx}\\\\ -\frac{1}{4}\frac{dz}{dx}&=y^{-5}\cdot \frac{dy}{dx} \end{align}$$ 右辺が、ベルヌーイを$\,y^n\,$で割った後の第1項と同じになっています。

$$\begin{align}
y^{-5}\frac{dy}{dx}-\frac{1}{4}y^{-4}&=1\\\\
-\frac{1}{4}\frac{dz}{dx}-\frac{1}{4}z&=1\\\\
\frac{dz}{dx}+z&=-4
\end{align}$$

線形微分方程式になりました。

(線形微分方程式を解く)

今度は、$\frac{dz}{dx}+z=-4\,$の一般解を求めていきます。

まず、同次線形方程式について考える。

$$\begin{align}
\frac{dz}{dx}+z&=0\\\\
\frac{dz}{dx}&=-z\\\\
\displaystyle \int_{}^{}\frac{1}{z}dz&=-\displaystyle \int_{}^{}1\cdot dx\\\\
log\left|z\right|&=-x+C\\\\
z&=Ce^{-x}
\end{align}$$

$C=C(x)\,$とする。(これを定数変化法という。)

$$\begin{align}
z&=C(x)e^{-x}\\\\
\frac{dz}{dx}&=\frac{dC(x)}{dx}e^{-x}-C(x)e^{-x}
\end{align}$$

$\frac{dz}{dx}+z=-4\,$に代入します。

$$\frac{dC(x)}{dx}e^{-x}-C(x)e^{-x}+C(x)e^{-x}=-4$$

$$\begin{align}
\frac{dC(x)}{dx}e^{-x}&=-4\\\\
\displaystyle \int_{}^{}dC(x)&=-\displaystyle \int_{}^{}4e^{x}dx\\\\
C(x)&=-4e^{x}+C
\end{align}$$

$z=C(x)e^{-x}\,$に代入する。

$$\begin{align}
z&=\left(-4e^{x}+C\right)e^{-x}\\\\
&=Ce^{-x}-4
\end{align}$$

$z→y\,$に戻す。

$$y^{-4}=Ce^{-x}-4$$

(例1の答え)
一般解:$\frac{1}{y^4}=Ce^{-x}-4$

練習問題

次の式の一般解を求めよ。
$$\frac{dy}{dx}-\frac{1}{3}y=-\frac{1}{3}e^{2x}y^4$$
$$\begin{align} \frac{dy}{dx}-\frac{1}{3}y&=-\frac{1}{3}e^{2x}y^4\\\\ y^{-4}\frac{dy}{dx}-\frac{1}{3}y^{-3}&=-\frac{1}{3}e^{2x}\\\\ \end{align}$$
$$z=y^{-3}$$ $$\frac{dz}{dx}=-3y^{-4}\frac{dy}{dx}$$
よって、 $$\frac{dz}{dx}+z=e^{2x}$$
あとは、線形微分方程式を解く。
$$\begin{align} \frac{dz}{dx}+z&=0\\\\ \displaystyle \int_{}^{}\frac{1}{z}dz&=-\displaystyle \int_{}^{}dx\\\\ log\left|z\right|&=-x+C_{1}\\\\ z&=Ce^{-x} \end{align}$$
定数変換法を使う。
$$\begin{align} z&=C(x)e^{-x}\\\\ \frac{dz}{dx}&=\frac{dC(x)}{dx}e^{-x}-C(x)e^{-x}\\\\ \end{align}$$
$\frac{dz}{dx}+z=e^{2x}\,$に代入する。
$$\frac{dC(x)}{dx}e^{-x}-C(x)e^{-x}+C(x)e^{-x}=e^{2x}$$
$$\begin{align} \frac{dC(x)}{dx}e^{-x}&=e^{2x}\\\\ \displaystyle \int_{}^{}dC(x)&=\displaystyle \int_{}^{}e^{3x}\cdot dx\\\\ C(x)&=\frac{1}{3}e^{3x}+C \end{align}$$
$z=C(x)e^{-x}\,$に代入する。
$$\begin{align}z&=\left(\frac{1}{3}e^{3x}+C\right)e^{-x}\\\\ z&=Ce^{-x}+\frac{1}{3}e^{2x}\end{align}$$
$z→y\,$に戻す。
$$\frac{1}{y^3}=Ce^{-x}+\frac{1}{3}e^{2x}$$
一般解:$\frac{1}{y^3}=Ce^{-x}+\frac{1}{3}e^{2x}$
   
次の式の一般解を求めよ。
$$\frac{dy}{dx}-xy=\frac{1}{y^3}$$
$$\begin{align} \frac{dy}{dx}-xy&=\frac{1}{y^3}\\\\ y^{3}\frac{dy}{dx}-xy^{4}&=1\\\\ \end{align}$$
$$z=y^{4}$$ $$\frac{dz}{dx}=4y^{3}\frac{dy}{dx}$$
よって、 $$\frac{dz}{dx}+4z=4$$
あとは、線形微分方程式を解く。
$$\begin{align} \frac{dz}{dx}+4z&=0\\\\ \displaystyle \int_{}^{}\frac{1}{z}dz&=-\displaystyle \int_{}^{}4\cdot dx\\\\ log\left|z\right|&=-4x+C_{1}\\\\ z&=Ce^{-4x} \end{align}$$
定数変換法を使う。
$$\begin{align} z&=C(x)e^{-4x}\\\\ \frac{dz}{dx}&=\frac{dC(x)}{dx}e^{-4x}-4C(x)e^{-4x}\\\\ \end{align}$$
$\frac{dz}{dx}+4z=4\,$に代入する。
$$\frac{dC(x)}{dx}e^{-4x}-4C(x)e^{-4x}+4C(x)e^{-4x}=4$$
$$\begin{align} \frac{dC(x)}{dx}e^{-4x}&=4\\\\ \displaystyle \int_{}^{}dC(x)&=\displaystyle \int_{}^{}4e^{4x}\cdot dx\\\\ C(x)&=e^{4x}+C \end{align}$$
$z=C(x)e^{-4x}\,$に代入する。
$$\begin{align}z&=\left(e^{4x}+C\right)e^{-4x}\\\\ z&=Ce^{-4x}+1\end{align}$$
$z→y\,$に戻す。
$$y^4=Ce^{-4x}+1$$
一般解:$y^4=Ce^{-4x}+1$
   

まとめ

ベルヌーイ微分方程式は、
$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n\\\\↓\\\\y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)\\\\↓\\\\z=y^{1-n}\,として\\\\↓\\\\\frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)$$
あとは、線形微分方程式を解く。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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